【数学教育】-3-(-5)=2をどう説明するか

どうもシャオムです。

数学の学び方は、ただテキストを読み問題を解くという単調なものになりやすいかもしれません。特に高校までは、(少なくともこれまでは)問題を解けることが目標になるので、ある程度仕方ないかもしれません。計算は得意だけど数学の考え方ができないという人は、けっこういるんじゃないでしょうか。数学が苦手な人にとって、説明の仕方で理解度が大きく変わるのかはわかりませんが、少なくとも学習をサポートする側としては、良い説明の仕方は持っておいた方が良いです。

今回は、僕が塾で教えていて説明するのが難しいと思った内容を紹介します。それは、中学1年生の「正負の数のたし算・ひき算」です。いくつか問題を書きます。

①5+(-10)

②-2+4

③-4-1

④-3-(-5)

これらのようなシンプルな計算がわからないという場合、シンプルがゆえにこちらのできる説明も限られているように感じます。考えてみればわかるように、たとえば④を-2や-8と答える人に対してどう説明するかは難しい問題です。僕がこれを説明するときにネット上を調べてみても、すっきりする説明というのはなかなかありませんでした。そこで、いくつか説明の仕方を考えてみましょう。

まず、教科書に載っている一つの基本的な考え方は、数直線上の位置で考える方法です。プラスなら右へ、マイナスなら左へ点を移動させて考えます。これは数学的に厳密ではありますが、多くの子どもにとって難しいようです。

子どもにとってよりわかりやすいのは、数に何か意味を吹き込み、無味乾燥とした式を生活に関係のあるものとしてイメージすることです。たとえば、負の数を「借金」と考える方法があります。「5万円もっていて、7万円なくなったら、2万円の借金になる」のように考えて計算します。この考え方の良いところは、借金を負の数と考えるのが一定の数学的な意味を持っていて、さまざまな応用をさせられることです。たとえば会計でも、黒字をプラス、赤字をマイナスとして計算しますし、お金以外でも、5年後のことをプラス5とすれば、5年前をマイナス5年と表すことがあります。このように、数字に意味を与えることは重要な考え方です。ただし、借金の考え方で少し難しいのが、負の数を引くときの発想です。④のように、-5を引くときに、「借金を引く」という発想をしなければなりません。借金を引くんだから借金が少なくなるんだ、と直観的にわかればいいのですが、中学1年生には難しい場合もあります。少なくとも「借金を引く」と言われたときに、一瞬脳にストレスがかかるのがわかりますよね。

もう一つ、僕が教えてもらってすっきりした方法が、「チームプラスとチームマイナスの得点の差で考える」という方法です。たとえば②の問題を、各項の符号の前で区切ります。

-2/+4

そうすると、-2はマイナスチーム2点、+4はプラスチーム4点という意味を表します。まず、このゲームにはプラスチームが勝つので答えの符号はプラスと考えます。そして、プラスチームは2点の差を開いて勝つので、答えは+2となるということです。③であれば、-4/-1と区切りを入れ、マイナスチームに4点と1点が入り、プラスチームは0点であるとわかります。マイナスチームが5点差で勝つので答えは-5となります。考え方としてすっきりしていますね。④のようなときはどうするでしょうか。負の数を引く場合、-(5)の部分を機械的に+5に書き換えるよう指導する必要があります。なぜなら、-3-(-5)のままでは区切りを入れられないからです。+5に書き換えると、-3/+5と区切ることができ、答えは2と判断できます。だからこの考え方においては、-(-5)は+5と無理やりにでも覚えないといけません。これはひき算でもかけ算でも考えることはできますし、意味がわからなくても多くの子どもはこのくらいのことは覚えられるので、計算ができるようになるためにはハードルの低いアプローチではないかと思います。ただ、「チームの得点差」の考え方は、借金に比べて、数学的な意味は薄く、応用の効かないものです。実際に2つの数量を比べるときは、片方をプラス、片方をマイナスとして考えるのではなく、普通両者の差をとります。「チームの得点差」のような考え方は、数学的な意味を重視する人はあまり思いつかないような発想だと思います。しかし、計算ができない子への説明としてはかなり優れたものだと思います。

今回はたし算・ひき算を例に、数学の説明の仕方を考えてみました。これは何も数学の勉強に役立つ話ではなく、相手に何かを厳密に理解してほしいとき、どう説明するかという問題です。数学の言語や考え方を持っていることは、そういう場面でうまく伝える力、理解する力になるということです。