数学学習の段階【番外編：二等辺三角形の底角の定理】

どうもシャオムです。

これまで３回に渡って、数学学習の段階について書いてきました。前回の３回目をもってこれは完結となるのですが、今回は補足として、第２段階の例をもう一つあげておきたいと思います。第２段階は、定義から定理を導く段階でした。僕の考えでは、この定理を導くところこそ、数学のエッセンスが入っている部分です。本編では平行四辺形の面積というシンプルな例を説明しましたが、今回は少し難しい「二等辺三角形の底角」についての定理を考えてみましょう。

まずは定理の確認からです。

定理：二等辺三角形の底角は等しい

この定理を当然のこととして知っている人も多いと思います。図でも確認しておきましょう。

どこが等しいのか確認していただけたでしょうか。

では、これを証明する方法を考えていきましょう。定理を導く段階の練習ですね。

これを証明する前に、まず私たちに与えられた定義を確認しておきましょう。証明しなくても使ってよい事実は何かということですね。私たちがはじめから知っている事実は次の通りです。

・３辺のうち、２辺の長さが等しい三角形を二等辺三角形という。

・二等辺三角形の等しい２辺とは別の辺（残りの１辺）を底辺と見ると、底辺の両端にある角のことを底角という。

・二等辺三角形の等しい２辺に挟まれた角を頂角という。

以上の３点を確認すればよいかと思います。さて、証明に入りますが、わかりやすいように頂点に名前をつけましょう。下の図のように、A、B、C、そしてAから辺BCに垂線AHを下ろします。

さて、私たちは今から底角が等しいことを証明するのですが、それを式を使って表現すると、「AB = AC ならば 角B = 角C」という命題になります。では、一気に証明を進めます。

最終的に角B＝角Cを言うのですが、そのためには三角形の合同を示します。

三角形ABHと三角形ACHという２つの三角形を比較します。まず、そもそもの定義から、AB = ACであることがわかっています。さらに、AHという辺は、どちらの三角形にも共通して含まれています。また、角AHBと角AHCは同じ大きさで、直角になっています。これらを整理すると、２つの三角形において、

    二等辺三角形という仮定から　AB = AC

    共通な辺として　AH = AH

    垂線という仮定から　角AHB = 角AHC = 90度

が成り立っています。直角三角形には「斜辺と他の一辺がそれぞれ等しければ合同」という定理を使えば（☆☆☆）、三角形ABHと三角形ACHは合同ということになります。したがって、角B = 角Cがいえたということです。

文章を追うのはいささか大変だったかと思いますが、いかがだったでしょうか。さて、ここで問題がありまして、☆マークを３つつけた箇所についてです。２つの直角三角形の斜辺と他の一辺がそれぞれ等しければ合同という定理を用いているのですが、これは合同条件というものです。中学校ではこれをある種の絶対条件として教わるわけなのですが、本来であればこれ自体も「定理」であり、本当にその条件を満たせば合同なのかどうかは証明を要します。というわけで、次回、この合同条件の定理を証明する回を設けて、また改めて深掘りしていくことにします（ざっくりとした証明になるとは思いますが）。これが証明できてはじめて、二等辺三角形の底角が等しいという証明が完了することになります。興味のある方は、次回も読んでみてください。