数学学習の段階【番外編：三角形の合同条件】

どうもシャオムです。

今回で「数学学習の段階」シリーズも最後になります。昨日の「二等辺三角形の底角定理」の証明で、三角形の合同条件を利用しました。

三角形の合同条件：

①３つの辺の長さがそれぞれ等しい

②２つの辺の長さとその間にある角の大きさがそれぞれ等しい

③１つの辺とその両端にある角の大きさがそれぞれ等しい

これらのうちの１つでも満たせば、２つの三角形は合同ということになります。今回は、本当にこの条件を満たせば合同なのか（数学の言葉でいえば必要十分なのか）を確かめてみたいと思います。

まずは、そもそも合同がどういう意味なのかを確認しておきましょう。合同の定義ですね。２つの図形が合同であるというのは、簡単にいえば、移動させればぴったり重なるということです。

今からやることは、先程の合同条件を満たせば、２つの三角形は本当に合同なのか、つまりぴったり重なるのかを考えるということです。

今回は試しに、③の条件について確かめてみましょう。

「１つの辺とその両端にある角の大きさが等しい」なので、まず同じ長さの辺を２つ書きましょう。

次に、今書いた辺の左端を通り、角度が同じになるように新しい直線を描きます。

赤の角の大きさが同じになっています。そして、「両端の角」なので、今度は最初に書いた辺の右端を通るような直線を書きます。このとき、この新しい直線と最初の辺とのなす角が等しくなるようにします。

これで１つの辺とその両端の角が等しい三角形が２つできました。さて、この２つは合同なのでしょうか。

まず１つ確かなことは、上の図で赤と緑で示した角以外の、残りの１つの角は、等しくなっているということです。

つまり、これら２つの三角形はまったく同じ形をしているということがわかります。まったく同じ形とはどういうことかというと、どちらかを拡大すればぴったり重なる図形（相似）ということです。しかし、拡大してぴったり重なる図形というのは、１つの辺の長さが２倍になれば、残りの辺もすべて２倍になります。つまり、全体が同じ倍率で拡大・縮小するということです。ということは、もし上の２つ三角形が大きさの違うものだったら、いま等しくなっているところの辺は、等しくなるはずがありません。裏を返せば、図で示した部分の辺の長さが同じならば、２つの三角形は確実にぴったり重なる（合同）ということです。

文章が複雑になってしまいましたが、三角形の合同条件を確かめてみました（直角三角形の合同条件は、上の三角形の合同条件から導けます）。厳密な証明からはかなり遠いですが、イメージのうえでの説明はこんな感じになると思います。定理を導くということの大切さが少しでも伝われば、幸いです。